初三几何难题

初三几何试题一直都是考试的重点。而初三几何难题中最引人注目的就属几何计算题了。说起几何计算题我们就会想到四边形、长方形、三角形和圆。这些图形都是几何计算题的出题点。而几何计算题要想做好，首先就要求同学们具有很强的空间感。为了使同学们在几何试题中的高分，小编为大家整理了经典的几何试题及相关的解析。

例1. 如图，在矩形ABCD中，以边AB为直径的半圆O恰与对边CD相切于T，与对角线AC交于P，PE⊥AB于E，AB=10，求PE的长.

解法一：(几何法)连结OT， 则OT⊥CD，且OT= AB=5

BC=OT=5 ,AC= =

∵BC是⊙O切线，∴BC2 =CP•CA.

∴PC= ，∴AP=CA-CP= .

∵PE∥BC ∴ ，PE= ×5=4.

说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要注意图形中的隐含条件.

解法二：(代数法)

∵PE∥BC，∴ . ∴ .

设：PE=x，则AE=2 x ，EB=10–2 x.

连结PB. ∵AB是直径，∴∠APB=900.

在Rt△APB中，PE⊥AB，∴△PBE∽△APE .

∴ .∴EP=2EB，即x=2(10–2x).

解得x=4. ∴PE=4.

说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式;勾股定理中的等式;相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系.

解法三：(三角法)

连结PB，则BP⊥AC.设∠PAB=α

在Rt△APB中，AP=10COSα，

在Rt△APE中，PE=APsinα, ∴PE=10sinαCOSα.

在Rt△ABC中, BC=5,AC= .∴sinα= ,

COSα= .∴PE=10× =4.

说明：在几何计算中，必须注意以下几点：

(1) 注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系.

(2) 注意推理和计算相结合，先推理后计算，或边推理边计算，力求解题过程规范化.

(3) 注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用.

例2.如图，ABCD是边长为2 a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切⊙O于E，与BA的延长线交于F，求EF的长.

分析：本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质.本题可用代数法求解.

解：连结OE，∵CE切⊙O于E， ∴OE⊥CF ∴△EFO∽△BFC，∴ ，又∵OE= AB= BC，∴EF= FB

设EF=x，则FB=2x，FA=2x–2a

∵FE切⊙O于E ∴FE2=FA•FB，∴x2=(2x–2a)•2x

解得x= a， ∴EF= a.

例3.已知：如图，⊙O1 与⊙O2相交于点A、B，且点O1在⊙O2上，连心线O1O2交⊙O1于点C、D，交⊙O2于点E，过点C作CF⊥CE，交EA的延长线于点F，若DE=2，AE=

(1) 求证：EF是⊙O1的切线;

(2) 求线段CF的长;

(3) 求tan∠DAE的值.

分析：(1)连结O1A，O1E是⊙O2的直径，O1A⊥EF，从而知

EF是⊙O1的切线.

(2)由已知条件DE=2，AE= ，且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线，运用切割线定理EA2=ED•EC，可求得EC=10.由CF⊥CE，可得CF是⊙O1的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF= x，则FE= x+ .又CE=10，由勾股定理可得：(x+ )2= x2+102，解得 x= .即CF= .

(3)要求tan∠DAE的值，通常有两种方法：①构造含∠DAE的直角三角形;②把求tan∠DAE的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切(等角转化).在求正切值时，又有两种方法可供选择：①分别求出两线段(对边和邻边)的值;②整体求出两线段(对边和邻边)的比值.

解：(1)连结O1A，

∵O1E是⊙O2的直径，∴O1A⊥EF

∴EF是⊙O1的切线..

(2)∵DE=2，AE= ，且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线

∴EA2=ED•EC，∴EC=10

由CF⊥CE，可得CF是⊙O1的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF= x，则FE= x+ .又CE=10，由勾股定理可得：(x+ )2= x2+102，解得 x= .即CF= .

(3)解法一：(构造含∠DAE的直角三角形)

作DG⊥AE于G，求AG和DG的值.分析已知条件，在Rt△A O1E中，三边长都已知或可求(O1A=4，O1E=6)，又DE=2，且DG∥A O1(因为DG⊥AE)，运用平行分线段成比例可求得DG= 从而tan∠DAE= .

解法二：(等角转化)

连结AC，由EA是⊙O1的切线知∠DAE=∠ACD.只需求tan∠ACD.易得∠CAD=900，所以只需求 的值即可.观察和分析图形，可得△ADE∽△CAE， .从而tan∠ACD= ，即tan∠DAE= .

说明：(1)从已知条件出发快速地找到基本图形，得到基本结论，在解综合题时更显出它的基础性和重要性.如本题(2)求CF的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出CE的长.

(2)方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要熟练地掌握.

例4.如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4.

(1) 求⊙A的半径;

(2) 求CF的长和△AFC的面积.

解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2，∴(2+AD)2=42+AD2，解得AD=3.

(2) A作AG⊥EF于G.∵BG=3，BE=AB―AE=1，∴CE=

由CE•CF=CD2，得CF= .又∵∠B=∠AGE=900，∠BEC=∠GEA，∴△BCE∽△GAE.∴ ，即 S△AFC= CF•AG= .

例5.如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，S△ABC= ，∠B为锐角，且关于x的方程x2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根.D是劣弧AC上的任一点(点D不与点A、C重合)，DE平分∠ADC，交⊙O于点E，交AC于点F.

(1) 求∠B的度数;

(2) 求CE的长.

分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性质，解题时应注意线段的转化.

解：(1)∵关于x的方程x2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根，

∴Δ=(-4cosB)2-4=0.∴cosB= ，或cosB=- (舍去).

又∵∠B为锐角，∴∠B=600.

(2) 点A作AH⊥BC，垂足为H. S△ABC= BC•AH= BC•AB•sin600= ，解得AB=6

在Rt△ABH中，BH=AB•cos600=6× =3，AH=AB•sin600=6× ，∴CH=BC-BH=4-3=1. 在Rt△ACH中，AC2+CH2=27+1=28.∴AC= (负值舍去).∴AC= .连结AE，在圆内接四边形ABCD中，∠B+∠ADC=1800，∴∠ADC=1200.又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=600=∠EAC. 又∵∠AEC=∠B=600，∴∠AEC=∠EAC，∴CE=AC= .

例6. 已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于点C，且与弦AB的延长线交于点E，CD⊥AB于D.如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程x2–3(r–2)x+ r2–4=0的两个实数根.求(1)AC、BC的长;(2)CD的长.

分析：(1)图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得△ECB∽△EAC，AC=2BC.又∵AC、BC是方程的两根，由根与系数关系可列出关于AC、BC的方程组求解.(2)∵CD是Rt△CDB的一边，所以考虑构造直角三角形与之对应.若过C作直径CF，连结AF，则Rt△CDB∽Rt△CAF，据此可列式计算.

解：(1)∵CE切⊙O于C，∴∠ECB=∠A.又∵∠E是公共角，∴△ECB∽△EAC， ，∴AC=2BC.由AC、BC的长是关于x的方程x2–3(r–2)x+ r2–4=0的两个实数根，∴AC+BC=3(r-2);AC•BC=r2-4，解得r=6，∴BC=4，AC=8.

(2) CO并延长交⊙O于F，连结AF，则∠CAF=900，∠CFA=∠CBD. ∵∠CDB=900=∠CAF，∴△CAF∽△CDB， .∴CD= .

说明：(1)这是一道代数、几何的综合题，关键是寻找相似三角形，建立线段之间的比例关系，再根据根与系数关系列等式计算;(2)构造与相似的直角三角形的方法有许多种，同学们不妨试一试.

例7.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B.

(1)求证：PA是⊙O的切线;

(2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=CE∶EB=6∶5，AE∶EB=2∶3，求AB的长和∠FCB的正切值.

解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900. ∴∠CAB+∠B=900，又∠PAC=∠B，∴∠CAB+∠PAC=900.即PA⊥AB，∴PA是⊙O的切线.

(2) 设CE=6a ,AE=2x,则ED=5a，EB=3 x.

由相交弦定理，得2x•3x=5a•6a ∴x= a. 连结AD.由△BCE∽△DAE，得 .连结BD.由△BED∽△CEA，得 .

∴BD= .由勾股定理得BC= ，AD= .

∴ .两边平方，整理得 ，∴ (负值舍去).

∴AD= .∵∠FCB=∠BAD，∴tan∠FCB= tan∠BAD= .

以上是小编分享的关于初三几何难题中的几何计算题的相关内容。学生们可以在学习几何的时候善用上述的试题，学习其中的一种或是多种的解题方法。更多的初三几何难题还请大家以后继续关注学大教育官网。